02 WHY 미분방정식 - 왜 미분방정식이 중요한가?

 
앞서 프롤로그에서 이야기했듯,
전자공학과에서 필요한 공업수학을 살펴보기 위해서는 가장 먼저 미분방정식에 대한 이야기를 하지 않을 수 없다.

중학교와 고등학교를 거치며 배워온 수학 과정을 되짚어보면,
우리는 결국 고등학교 수학에서 미적분을 풀기 위해 오랜 시간 수학을 차근차근 쌓아왔다고 볼 수도 있다.
그렇다면 한 가지 질문이 남는다.

삶에 직접적으로 크게 도움이 되어 보이지도 않는 미분과 적분을 우리는 왜 그렇게 오랫동안 배워왔을까?
내가 생각하는 하나의 답은 이것이다.

그 모든 과정은 결국 미분방정식을 이해하고 풀기 위한 준비 과정이 아니었을까 하는 생각이다.

근대 초기를 대표하는 수학자들을 살펴보면 (이 표현은 내가 임의로 붙인 말이지만),
그들의 지적 경쟁의 중심에는 대부분 미분방정식이 자리하고 있다.

그만큼 미분방정식은 자연과 현상을 설명하는 데 있어 핵심적인 도구였다는 뜻이기도 하다.

그렇다면 질문은 다시 돌아온다.
왜 미분방정식이 중요한가?

그 이유는 비교적 단순하다.
우리가 살고 있는 세상의 모든 물체는 ‘상태’로 정의되며,
그 상태는 결국 속도에 의해 규정되기 때문이다.

모든 물체는 속도가 없거나, 속도가 일정하거나, 혹은 속도가 변하는 상태 중 하나로 표현된다.

물리학에서 시간에 대한 개념을 떠올려보자.
뉴턴의 제1법칙은 관성의 법칙으로,
어떤 물체에 외력이 작용하지 않으면 현재의 속도를 그대로 유지한다는 내용을 담고 있다.
이는 곧 속도가 일정한 상태에 대한 법칙이다.

반면 뉴턴의 제2법칙은
힘과 가속도의 관계를 설명한다.
즉, 물체의 변하는 속도, 다시 말해 가속도에 대한 법칙이다.

이제 자연스럽게 다음 질문이 떠오른다.
이런 물리학의 개념이 전자공학과는 어떻게 연결되는 것일까?

전자공학에서 우리가 가장 중요하게 다루는 것은 시간에 따라 변화하는 전자의 흐름이다.

여기서 ‘속도’를 ‘변화량’이라는 개념으로 치환해보면,
물리학과 전자공학의 바탕이 놀라울 정도로 닮아 있다는 것을 알 수 있다.

변화하는 모든 현상은 미분으로 표현될 수 있고,
그 관계를 기술한 것이 바로 미분방정식이기 때문이다.
전자공학을 ‘전자의 흐름을 제어하여 원하는 동작을 하는 시스템을 만드는 학문’이라고 정의한다면,
회로란 결국 전자의 흐름을 제어하고, 그 흐름을 변화시키기 위한 장치라고 볼 수 있다.

따라서 회로는 수식으로 표현하면 미분방정식의 형태로 바뀔 수 있고,
이 수식을 통해 회로의 안정성, 응답 속도, 과도 특성 등을 분석할 수 있다.

또한 이러한 분석을 바탕으로 실제 회로에 사용될 소자들의 값을 합리적으로 추정할 수 있게 된다.
이것이 바로 전자공학에서 미분방정식이 필요한 이유다.

다음 글에서는 우리가 일상적으로 접할 수 있는 간단한 예제를 통해
기본적인 미분방정식을 조금 더 구체적으로 살펴보도록 하자.

https://youtu.be/LFve7tMMHt8

[공업수학] 02 WHY 미분방정식?