03 WHY 미분방정식은 무엇일까? 수식은 답을 찾기 위한 도구가 아니라, 상태를 예측하는 언어다

 

수식은 답을 찾기 위한 도구가 아니라, 상태를 예측하는 언어다

오늘은 아주 간단한 미분방정식 몇 가지를 통해 미분방정식이 무엇을 의미하는지 살펴보려 한다. 이번 내용은 한 번에 이해하기보다는 두 번 정도 나누어 천천히 익히는 것을 목표로 한다.

이 글을 통해 기초적인 미분방정식과 그 수식이 담고 있는 의미에 조금 더 익숙해졌으면 한다.

우리는 그동안 주어진 수식을 풀어 ‘정답을 구하는 것’에 익숙한 교육을 받아왔다.
하지만 여기서는 그보다 수식이 무엇을 말하고 있는지, 어떤 현상을 설명하고 있는지에 조금 더 집중해보려 한다.

앞선 글에서 미분방정식은 ‘상태의 변화에 대한 수학적 표현’이라고 말했다. 그 말이 실제로 어떤 의미인지 이제 하나씩 확인해보자.

1. 뉴턴의 제2법칙

마찰력이 없고, 다른 힘의 간섭이 전혀 없는 공간에서 질량이 50kg인 물체가 완전히 멈춰 있다고 가정해보자. 이 물체를 일정한 힘 5N으로 밀기 시작하면 10초 후 물체의 속도는 얼마나 될까?

이와 같은 문제는 고등학교 물리 시간에 수없이 접해봤을 것이다.

뉴턴의 제2법칙에 따르면

이다.

속도를 구하려면 양변을 시간에 대해 적분하면 된다.

이를 정리하면,

가 된다. 여기서 적분상수 C 는 초기조건을 의미한다.

문제에서 물체는 처음에 정지해 있으므로

을 만족해야 하고,  따라서

이다. 주어진 값을 대입하면, m=50Kg, F=5N 이므로

가 된다. 따라서 10초 후 속도는 v(t)=1m/s가 된다.

이 계산은 익숙하지만, 여기서 중요한 것은 정답 자체가 아니다. 이 수식이 말해주는 것은 다음과 같다.

“50 kg의 물체에 5 N의 힘이 지속적으로 작용하면 10초 후 물체의 속도는 1 m/s가 될 것이라고 예측할 수 있다.”

이것이 바로 미분방정식이 가진 힘이다.

 

2. 한 단계 더: 위치는 어디에 있을까?

그렇다면 같은 물체는 10초 후 출발점으로부터 얼마나 떨어진 위치에 있을까?

속도는 거리 S 를 시간에 대해 미분한 값이므로

앞에서 구한 속도식은,

이므로, 

가 된다. 이를 다시 적분하면, 

초기위치가 원점이라면 s(0)=0, 이니 C1=0이 된다. 따라서 최종적으로

가 되고, 10초 후 위치는 s(10)=5m가 되는 것이다. 

이제 의미를 다시 생각해보자.

물체의 초기 상태와 그 물체에 작용하는 힘을 알면, 이후 물체가

• 어떤 속도로 움직이고
• 어느 위치에 있을지

를 계산을 통해 미리 예측할 수 있다.

현실에서는 여러 힘이 동시에 작용하므로 문제가 더 복잡해지지만, 기본 원리는 변하지 않는다. 이러한 뉴턴의 미분방정식을 통해 우리는

• 행성의 운동을 계산하고
• 로켓의 궤적을 예측하며
• 시스템에 필요한 힘의 크기를 미리 설계할 수 있다.

 

3. 뉴턴의 냉각 법칙

이번에는 조금 다른 예를 살펴보자. 뉴턴의 냉각 법칙이다.
뉴턴은 물체가 식는 속도, 즉 온도의 변화율이 물체의 온도와 주변 온도의 차이에 비례한다고 보았다. 이를 수식으로 표현하면

여기서, k는 비례상수, Tsur는 주변온도이다.

예를 들어, 주변 온도가 30 °C인 방에 100 °C의 차를 두었다고 가정해보자. 뉴턴이 좋아하는 차의 온도가 70 °C라면 마시기까지 얼마나 기다려야 할까?

수식을 정리하면,

이고, 이를 적분하면

가 된다. 이를 풀어쓰면,

초기조건 T(0) = 100을 적용하면 C1 =70이 되어

된다.

만약 3분 후 차의 온도가 85 °C라면 이를 통해 k를 구할 수 있고, 그 값을 이용하면 70 °C가 되는 시점을 계산할 수 있다.

계산 결과, 약 7분 정도를 기다려야 마시기 좋은 온도가 된다.

 

4. 미분방정식의 본질

이 두 예에서 공통적으로 드러나는 점은 이것이다.
미분방정식은 물체의 현재 상태와 변화 속도를 이용해 미래의 상태를 예측하는 수식이다.

이를 가장 단순하게 일반화하면

와 같은 형태가 된다.

이는 “어떤 물체의 변화 속도는 현재 상태에 비례한다”는 뜻이다.

이제 미분방정식이 단순한 계산 문제가 아니라
현상을 이해하고 예측하기 위한 언어라는 점이
조금은 느껴지지 않는가?

다음 글에서는 이러한 기초적인 미분방정식 예제를 조금 더 살펴보며
미분방정식의 감각을 차근차근 쌓아보도록 하자.

 

https://youtu.be/3sndQoA-Yk4

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